Est-on sûr que toute position de départ a toujours une solution dans Crazy Circus ? Ca semble évident mais encore faut-il le démontrer. J'ai donc saisi la communauté mathématique d'Internet, qui n'a pas tardé à répondre à l'appel.

Voilà la réponse d'Olivier Miakinen, 38 ans, ingénieur en informatique. Cet adepte des jeux mathématiques et logiques nous propose la démonstration complète ainsi qu'une intéressante étude sur les ordres dans Crazy Circus, qui débouche sur une variante. Vous pouvez visiter son site à l'adresse suivante: http://miakinen.net

Démonstration de Crazy Circus

Précisons qu'il existe en tout et pour tout 24 positions possibles.

1) On peut avoir les trois animaux sur le podium rouge, de six manières différentes. En effet, n'importe lequel des animaux peut être directement sur le podium (trois possibilités). Ce premier animal étant choisi, n'importe lequel des deux animaux restants peut être sur son dos (deux possibilités). Enfin, le dernier animal n'a plus d'autre choix que d'être tout en haut (une possibilité). Il y a donc 3×2×1 = 6 manières de placer les animaux sur le podium rouge.

2) De la même façon, on peut avoir les trois animaux sur le podium bleu. Là encore il y a six manières de les disposer.

3) et 4) Si les animaux ne sont pas tous sur le même podium, c'est qu'il y en a deux sur un podium et un sur l'autre. Par exemple deux sur le podium rouge et un sur le podium bleu (de six manières différentes), ou alors un sur le podium rouge et deux sur le podium bleu (six dispositions).

Au total, il y a donc 6+6+6+6 = 24 positions possibles. Reprenons.

1) Quelle que soit la position de départ, on peut mettre les trois animaux sur le podium rouge, dans n'importe laquelle des six positions possibles.

Pour cela, on commence par dire KI autant de fois qu'il y a d'animaux sur le podium bleu. Supposons qu'ils se retrouvent dans l'ordre "lion sur ours sur éléphant", que je note L/O/E. En disant MA un certain nombre de fois, on peut passer à la position E/L/O puis O/E/L avant de revenir à L/O/E. Parmi les six positions possibles avec les trois animaux sur le podium rouge, on n'a encore eu que trois d'entre elles. Mais en partant de L/O/E et en disant LO MA KI, on arrive à L/E/O, puis avec un ou deux MA on obtient O/L/E ou E/O/L.

Ainsi, en partant de n'importe quelle position, on peut mettre tous les animaux sur le podium rouge (zéro, une ou deux fois KI), et atteindre n'importe laquelle des six positions "tous sur rouge" en disant zéro ou une fois LO MA KI, puis zéro, une ou deux fois MA. Bien évidemment cette méthode n'est pas forcément la plus rapide.

2) Même chose que (1) mais avec le podium bleu.

Même démonstration en échangeant les rôles de KI et de LO, et en remplaçant tous les MA par des NI.

3) Quelle que soit la position de départ, on peut mettre l'animal que l'on veut sur le podium bleu, et les deux autres sur le podium rouge, dans l'ordre que l'on veut.

Par exemple, utiliser la méthode (1) pour mettre les trois animaux sur le podium rouge, avec celui qui doit aller sur le podium bleu au dessus, et les deux autres dans l'ordre voulu. Puis dire LO.

4) Même chose que (3) en échangeant "bleu" et "rouge"

Trivialement équivalent à (3) en échangeant encore tous les ordres.

Certains ordres sont-ils superflus ?

Version facile - version difficile ? Le jeu existe dans deux versions. La différence entre les deux est l'autorisation ou l'interdiction de l'ordre SO. J'ai montré dans mon article précédent que le jeu avait toujours une solution dans la version difficile (puisque je n'utilise pas SO), ce qui entraîne bien sûr qu'il y a toujours une solution dans la version facile.

Mais on pourrait se demander si le jeu reste possible en supprimant un ordre autre que SO, voire plusieurs ordres.

a) Peut-on supprimer l'ordre KI ou LO ?

La réponse est non. Par exemple, si on supprime KI, il n'y a aucun moyen de mettre les trois animaux sur le podium rouge s'il y en a au moins un sur le bleu.

b) Peut-on supprimer l'ordre MA ou NI ?

La réponse est oui. On peut même supprimer à la fois MA et SO, ou supprimer à la fois NI et SO.

Supposons par exemple qu'on supprime MA et SO, en ne gardant que KI, LO et NI. Lorsqu'il y a 3 animaux sur le podium rouge, on peut remplacer MA par LO LO LO NI NI KI KI KI. Lorsqu'il n'y a que deux animaux sur le podium rouge, on peut remplacer MA par LO NI LO NI KI KI. Et bien sûr s'il y a moins de deux animaux sur le podium rouge, l'ordre MA ne peut pas être utilisé.

Ainsi en remplaçant, dans la méthode que j'exposais dans mon article précédent, chaque MA par la bonne séquence de LO, NI et KI, on prouve que toute position peut être atteinte avec seulement ces trois ordres.

Une preuve similaire vaut pour l'utilisation de KI, LO et MA, en supprimant à la fois NI et SO.

c) Peut-on supprimer à la fois les ordres MA et NI ?

Aussi incroyable que cela puisse paraître, la réponse est encore oui.

Pour le prouver, partir d'une position avec deux animaux sur le podium rouge et un seul sur le podium bleu, puis dire LO SO KI SO LO SO KI SO LO SO KI SO (c'est un bon exercice de diction) en notant toutes les positions intermédiaires. On constate qu'au terme des douze déplacements on se retrouve dans la position de départ, en ayant parcouru une fois et une seule la totalité des douze positions du style "2+1" ou "1+2" (c'est-à-dire avec deux animaux sur un podium et un sur l'autre).

Comme par ailleurs chaque position du style "3+0" ou "0+3" se déduit d'une position "2+1" ou "1+2" avec un seul KI ou LO, on a la preuve que toute position peut être atteinte à partir de toute autre.

d) Peut-on supprimer trois ordres au lieu de deux ?

On a déjà vu que les ordres KI et LO sont obligatoires. Supprimer trois ordres signifierait ne garder *que* KI et LO. On montre facilement que, à partir d'une position donnée, une combinaison de KI et LO seuls ne permet d'atteindre que trois autres positions, la réponse est donc non.

En conclusion, les différents jeux possibles sont :

facile = KI LO MA NI SO
plus difficile = KI LO MA NI
encore plus difficile = KI LO MA ou KI LO NI
expert = KI LO SO

Voir la variante correspondante.